Problema del Gavilan.

Un gavilán dijo:”Adiós y cien palomas” a lo que una de ellas respondió: “no somos cien, para serlo, tendríamos que contarnos nosotras, mas nosotras, mas la mitad de nosotras, mas la cuarta parte de nosotras, mas usted señor gavilán”

¿Cuántas palomas eran?

Planteamiento y Solución:






















Eran 36 Palomas.

Raíz Cuadrada

En matemáticas se llama raíz cuadrada de un número x, aquel número y tal que multiplicado por sí mismo tenga como producto x. La raíz cuadrada de x se expresa O . Por ejemplo:

ya que






Ejemplos hechos en clase:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Numeros reales

Números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:

√2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estrá a la derecha del punto que corresponde a "a".

Clasificacion de los Numeros Reales.

Número irracional

Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero.

Número algebraico

Es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

anxn + an-1xn-1 + … + a1×1 + a0 = 0

Donde n > 0, cada ai es entero y an es distinto de cero.

Todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales como 21/2 (la raíz cuadrada de 2) y 31/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8×3 - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e. Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente.

Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n.

Número trascendente

Tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio del que α es raíz (p(α) = 0).

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que algebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler Γ lo es, Γ siendo: , cuando . La propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Números enteros

Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar 1, 2, 3, 4, 5,…. El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales se designa por la letra N: N= {1,2,3,4,5,6,…}.

Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos (también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z={…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}

Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión).

Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (ó a.b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o sustracción) y división…

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Números pares e impares

En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular, cualquier número entero es par o impar.

Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 × n

Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, …, y también: −2, −4, −6 … .

Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 …, y también: −1, −3, −5, … . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar. Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par.

Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, tal que:

m = 2 × n + 1

Número racional

En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término “racional” alude a “ración” o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números enteros.

El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, “cociente” en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Número irracional

Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES SE CLASIFICAN EN DOS TIPOS:

1.- IRRACIONALES ALGEBRAICOS

Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

x2 − x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.

2.- IRRACIONALES TRASCENDENTES:

No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

0.193650278443757 …

0.101001000100001 …

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en números reales, razón por la que existe otro conjunto de números donde estas operaciones están definidas: los imaginarios.

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Conmutativa	Suma Multiplicación	a+b = b+a ab = ba	El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.	2+8 = 8+2 5(-3)=(-3)5

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Asociativa	Suma Multiplicación	a+(b+c)=(a+b)+c a(bc) = (ab)c	Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.	7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)=(-2x4)7

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Identidad	Suma Multiplicación	a + 0 = a a x 1= a	Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.	-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Inversos	Suma Multiplicación	a + ( -a) = 0	La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.	15+ (-15) = 0

Propiedad	Operación	Definición	Que dice	Ejemplo
Distributiva	Suma respecto a Multiplicación	a(b+c) = ab + ac	El factor se distribuye a cada sumando.	2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos	Que dice	Ejemplo
-( -a ) = a	El opuesto del opuesto es el mismo número.	- ( - 9 ) = 9
(-a)( b)= a (-b)= -(ab)	El producto de reales con signos diferentes es negativo.	( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2) = - 30
( - a)( -b) = ab	El producto de reales con signos iguales es positivo.	( -34) ( - 8) = 34 x 8
-1 ( a ) = - a	El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.	-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedades del cero

Propiedad del cero	Que dice	Ejemplo
a x 0 = 0	Todo real multiplicado por 0 es 0.	16 x 0 = 0
a x b = 0 entonces a = 0 ó b = 0	Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.	(a+b)(a-b) = 0 entonces a + b = 0 ó a – b = 0